Pembahasan beberapa soal ONMIPA/KNMIPA Fisika tingkat Nasional

Kali ini saya akan membahas beberapa soal ONMIPA/KNMIPA Fisika tingkat Nasional, langsung bisa dibaca aja di bawah yah guys

UTS Fisika Kuantum 2019 nomor 2c

Nomor 2 Diberikan fungsi gelombang Gaussian
\(\Psi(x) = (\alpha/\pi)^{1/4} e^{-\alpha x^2/2}\).
Hitunglah \(<p^n>\) di mana p momentum. Diketahui: \(\int\limits_{0}^{\infty}{e^{-a^2x^2}}dx = \frac{1}{2a}\sqrt{\pi}\)
\(\int\limits_{0}^{\infty}{x^{2n}e^{-ax^2}}dx = \frac{1.3.5.(2n-1)}{2^{n+1}a^n}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\)
\(\int\limits_{0}^{\infty}{x^{2n+1}e^{-ax^2}}dx = \frac{n!}{2a^{n+1}}\)

Pembahasan
Soal ini dapat dikerjakan lebih mudah jika menggunakan fungsi gelombang dalam ruang momentum
\(\psi(p)\).
\(\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{-ipx} \Psi(x)}\,dx\)
\(\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} {e^{-ipx}\left( \frac{\alpha}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\alpha x^2/2}}\,dx\)
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dapat dilihat bahwa \(\alpha x^2/2 + ipx = \left(\sqrt{\frac{\alpha}{2}} x + ip/2\sqrt{\frac{2}{\alpha}}\right)^2 + \frac{p^2}{2\alpha}\)
integral di atas dapat dituliskan sebagai
\(\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}  \left(\frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{-\left(\sqrt{\frac{\alpha}{2}}x + ip/2 \sqrt{2/\alpha}\right)^2} e^{-p^2/2\alpha} }dx \)
Substitusikan
\( u = \sqrt{\frac{\alpha}{2}}x + ip/2 \sqrt{\frac{2}{\alpha}}\)
\( du = \sqrt{\frac{\alpha}{2}} dx \)
\( x = -\infty \rightarrow u = -\infty, x = \infty \rightarrow u = \infty \)
Integral tersebut menjadi
\(\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4}\sqrt{\frac{2}{\alpha}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{-u^2}e^{-p^2/2\alpha}} du\)
Dengan menggunakan tabel integral yang diketahui di soal, diperoleh\(\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}(\alpha\pi)^{1/4}} e^{-p^2/2\alpha}\)
Harga ekspektasi \(<p^n>\)
\( <p^n> = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\psi^*(p) p^n \psi(p)} dp\)
\(<p^n> = \frac{1}{\hbar\sqrt{\alpha\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}{p^ne^{-p^2/\alpha}}dp\)
Dengan menggunakan integral yang diketahui di soal, diperoleh
\(<p^n> =
\begin{cases}
        0 & \text{untuk n ganjil} \\
        \frac{2\alpha^n}{\hbar}\frac{1.3.5.(2n-1)}{2^{n+1}} & \text{untuk n genap}\\
\end{cases}
    \)