Makna fisis dari Divergensi

Hai teman-teman semua, udah lama gue gak ngepost di blog ini. Kali ini gue akan ngebahas makna fisis dari divergensi buat klean semua khususnya yang lagi kuliah di fisika, pasti gak asing lagi deh dengan besaran fisika yang pake divergensi. Ilmu ini gue dapat dari bukunya Mary L. Boas, cuman ya buku itu kan pake bahasa Inggris dan kebanyakan orang males baca. Supaya gak terlalu kaku, gue pake gaya bahasa kayak gini aja ya hehe. 

Sebelumnya udah tau kan, gimana definisi divergensi dari sebuah vektor? kalau belum tau atau lupa lagi gue kasih tau nih:

\boxed \(\nabla . V = \frac {\partial V_x}{\partial x} + \frac {\partial V_y}{\partial y} + \frac {\partial V_z}{\partial z} \)

Untuk memahami apa itu divergensi, coba kita bayangkan aliran air pada pipa yang luasnya \(A'\) yang kecepatannya  \(\vec{v} \).  \(\vec{v} \) itu adalah vektor kecepatan, kita bisa ngegambar  \(\vec{v} \) pada titik manapun di air tersebut, jadi  \(\vec{v} \) itu bisa dibilang medan vektor, kenapa? Karena medan itu besaran yang mempunyai nilai pada setiap titik dalam ruang, soalnya semua elemen air kan punya  \(\vec{v} \), jadi  \(\vec{v} \) itu besaran yang ada pada setiap titik dalam ruang . Dan \(v\) itu besaran vektor, jadi nama medannya juga medan vektor dong. 

Satu lagi nih, kurva yang menyinggung \(v\) itu disebut stream lines. Sebenernya ini tuh berlaku umum, jadi gak cuma berlaku buat aliran air aja. Jadi \(v\) bisa dibayangin sebagai kecepatan dari apa aja.

misalkan  \(\vec{V} = \rho \vec{v}\)

Dari gambar, kita bisa lihat kalau massa air yang keluar melalui luasan A' sebanyak:

\(A' \,vt\, \rho \)

jumlah air yang keluar melalui A juga kan sama aja ya, bisa ditulis \(A' = A \, cos \theta \)jadi persamaan di atas bisa ditulis sebagai

\(A' \,vt \,\rho \) = \(A \,cos \theta \,vt\, \rho \)

 bisa diliat ya dari gambar  \(\vec{v} \) membentuk sudut \(\theta\) terhadap  \(\vec{n} \) (vektor normal satuan dari A), jadi massa air yang keluar melalui A persatuan luas persatuan waktu adalah

\( cos \theta \,v\, \rho \) = \( \vec{V} . \vec{n}\)

Mari kita lihat gambar di bawah. Misalnya air tuh keluar melalui seluruh sisi pada balok ini. Ini adalah gambar elemen volume infinitesimal. 

Jadi misalnya, air tuh masuk ke permukaan 2 trus keluar ke permukaan 1. Laju air yang keluar  per satuan luas dari permukaan 1 (bidang y-z, vektor normalnya \(\vec(i))\) adalah \( \vec{V} . \vec{i} = V_x\), atau \(V_x\,dy\,dz\)  kayak yg ditulis di atas. Untuk menuliskan laju air neto yang keluar dalam arah sumbu x. Kita mau nyari perbedaan \(V_x\) antar dua titik, tapi dalam y dan z yang sama. Perbedaan nilai \(V_x\) dalam ukuran yang infinitesimal dapat dituliskan sebagai \(dV_x\). Sedangkan untuk nilai y dan z yang konstan, \(dV_x = \frac{\partial{V_x}}{\partial{x}}\,dx \). Nah laju air neto/total yang keluar dalam arah x:

\((V_x \text{pada permukaan 2} - V_x \text{pada permukaan 1})\,dy\,dz  = \frac{\partial{V_x}}{\partial{x}} \,dx\,dy\,dz\) 

Kalo kita liat semua permukaan lain, air total yang keluar adalah

\( \left(\frac{\partial{V_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{V_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{V_z}}{\partial{z}}\right)\,dx\,dy\,dz=\nabla.{V}\,dx\,dy\,dz \)
Jika kita membagi persamaan di atas dengan \(dx\,dy\,dz \), diperoleh laju air yang keluar per satuan volume yaitu \(\nabla.{V}\). Nah itulah dia makna fisis dari divergensi.