Penurunan Rumus Jumlah Akar (x1+x2 =-b/a) dan Perkalian Akar (x1.x2 =c/a) Persamaan Kuadrat

 Kita tahu bahwa bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$$ax^2 + bx+c =0$$

Kita dapat memperoleh akar-akar dari persamaan kuadrat ini dengan menggunakan metode kuadrat sempurna sebagai berikut. Tinjau dua suku pertama pada persamaan kuadrat, dapat dituliskan sebagai berikut.

$$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$$

Suku di dalam kurung dapat dituliskan juga sebagai:

$$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=0$$

Jika bingung pada langkah ini, maka silakan lihat lampiran ini

Persamaan di atas dapat dituliskan ulang sebagai

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)=0$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}^2=0$$

Dapat difaktorkan sebagai berikut (jika bingung dengan langkah ini, lihat lampiran ini):

$$\left[x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]\left[x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]=0$$

Agar ruas kanan sama dengan ruas kiri, maka salah satu atau kedua bilangan yang berada di dalam kurung haruslah bernilai nol, maka:

$$\left[x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]=0 \, \text{atau} \,\left[x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]=0$$

$$x_1=-\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\, \text{atau}\, x_2=-\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}$$

Dari sini kita peroleh jumlah akar persamaan kuadrat:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}-\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}=-\frac{b}{a}$$

$$x_1 +x_2 =-\frac{b}{a}$$

dan perkalian akar persamaan kuadrat:

$$x_1.x_2=\left[-\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]\left[-\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)}\right]=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}$$

$$x_1.x_2 =\frac{c}{a}$$

Lampiran 1

Kita tahu

$$(x+a)^2=x^2+2a+a^2$$

Nah sekarang misalkan kita ingin melengkapkan persamaan di bawah ini dengan kuadrat sempurna

$$x^2+2a+b$$

caranya gimana? Tinjau bahwa

$$x^2+2a+b=(x^2+2a+a^2)-a^2+b$$

Suku di dalam kurung dapat dituliskan menjadi $(x+a)^2$, bukan? Maka dari itu:

$$x^2+2a+b=(x+a)^2-a^2+b$$

Begitu gais, semoga paham ^.^

Lampiran 2

$$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$$