Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Kedua Koefisien konstan yang non-homogen dengan metode Variasi Parameter

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang koefisien konstan maupun koefisien variabel. Namun dalam kiriman ini, hanya akan dibahas mengenai penyelesaian diferensial biasa orde kedua yang koefisiennya adalah koefisien konstan.  Metode ini dikembangkan oleh J. L. Lagrange (1736-1813), juga sering dikenal sebagai metode Lagrange.


Persamaan diferensial orde kedua koefisien konstan yang non-homogen dapat dinyatakan dalam bentuk umum:

\(\frac {d^2 y} {dx^2} + a \frac {dy} {dx} + b y = Q(x)\)

Untuk persamaan diferensial ini dengan ruas kanan sama dengan nol, kita telah mengetahui persamaan diferensial ini memiliki solusi homogen/komplementer:

Ide mendasar dari penyelesaian persamaan diferensial ini adalah mencari solusi partikuler dalam bentuk

Untuk mendapatkan fungsi \(u_1\) dan \(u_2\) kita memerlukan dua persamaan. Turunkan \(y_p\) didapat:

Sekarang kita tetapkan kondisi kedua dengan mengharuskan:

sebenarnya, syarat ini hanya digunakan untuk memudahkan saja sih, tidak perlu kita buktikan.

Dengan kondisi kedua ini, marilah kita turunkan kembali \(y'_p\). Didapatkan

Substitusikan \(y'_p\), \(y_p\), dan \(y'_p\) ke dalam persamaan diferensial di atas. Kenapa kayak gitu? Jadi, kalau \(y_p\) adalah solusi dari PDB tersebut, sudah pasti akan memenuhi persamaannya. Maka akan kita dapatkan:

Tapi, 

dan bernilai nol. Ya, karena \(y_1\) dan \(y_2\) adalah solusi homogen/solusi komplementer dari PDB di atas, jadi jika kita substitusikan \(y_1\) dan \(y_2\) ke PDB tersebut pasti akan didapatkan nol.

Jadi kondisi ketiga adalah:

Dengan begitu. kita dapat mendapatkan \(u_1\) dan \(u_2\), sehingga kita bisa mendapatkan solusi partikuler dari PDB itu. Lalu, apa hubungannya dengan fisika? Dalam fisika kita sering menemukan bentuk-bentuk persamaan diferensial. Kata dosen saya persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang persamaan orang fisika banget. Karena banyak sekali fenomena alam yang dapat dirumuskan dalam PDB. Sehingga kita perlu mempunyai keahlian untuk menyelesaikan PDB. Salah satunya adalah dengan metode ini.

Referensi:

Differential Equations for Scientist and Engineers, Yunus A. Çengel & William J. Palm III